快速幂，积取模总结

在Miller Rabbin测试素数，就用到了快速幂取模的思想。这里总结下。求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法）
当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能
算法1：利用a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化

算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b = a^ (p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +...+ p(1)*2 + p(0))
= a^(p(n)*2^n) * a^(p(n-1)*2^(n-1)) *...* a^(p(1)*2) * a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） = a^0 = 1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i) = a^(2^(i-1) * 2) = ( a^( p(i) * 2^(i-1) ) )^2（这里很重要！！）
利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果
即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位。

代码：

#include<stdio.h>
#include<time.h>
int Expmod(__int64 a,__int64 n,__int64 k)//k越小，二进制位越接近高
{
int t;
if(0==k) return 1%n;
if(1==k) return a%n;
t=Expmod(a,n,k/2);
t=t*t%n;
if((k&1)==1) t=t*a%n;
return t;
}
void main()
{
int t;
t=clock();
__int64 a,n,k;
while(scanf("%I64d %I64d %I64d",&a,&k,&n))
printf("%d %d\n",Expmod(a,n,k),clock()-t);
}

算法3：与算法二类似，直接利用位运算将b进行移位，该算法减少了递归资源的占用，比算法二要好一点

代码：

int Expmod(__int64 a,__int64 n,__int64 k)
{
int t=1;
// a^(2^i) = a^(2^(i-1) * 2) = ( a^( p(i) * 2^(i-1) ) )^2
for( ; k ; k>>=1,a=a*a%n)
if(k&1) t=t*a%n;
return t;
}

快速求积，快速求幂，大指数取模
传说中的O(lgn)时间的快速算术算法和超大整数的取模算法。
1.快速求积，a*b=a*2*b/2

int fast_mul(int a, int b){
int m = 0;
while(b){
if(b & 0x01){
//a*b = a+a(b-1)
m += a;
--b;
}else{
//a*b = a*2*b/2
a <<= 1;
b >>= 1;
}
}
return m;
}

2.快速求幂，a^e=a^(2*e/2)

int fast_exp(int a, int e){
int exp = 1;
while(e){
if(e & 0x01){
//a^e = a*a^(e-1)
exp *= a;
--e;
}else{
//a^e = a^(2*e/2)
a *= a;
e >>= 1;
}
}
return exp;
}

3.大整数取模，(a*b)%m = ((a%m)*(b%m))%m

int bigint_mod(int a, int n, int m){
int mod = 1;
while(n){
if(n & 0x01){
//(a*b)%m = ((a%m)*b)%m = (a*(b%m))%m = ((a%m)*(b%m))%m
mod = (mod*a)%m;
}
a = (a*a)%m;
n >>= 1;
}
return mod;
}

注意！

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