刚接触递归的同学，可能难以理解递归，难以理解的点可能很多，例如：

1.函数为什么可以在自己的内部又调用自己呢?

2.既然可以自己调用自己，那么递归运行过程中一定回有很多层相互嵌套，到底什么时候不再嵌套呢？

3.递归运行过程中，相互嵌套的多层之间会有参数传递，多层之间是否会相互影响？

递归两个要素

1.递归边界

2.递归的逻辑——递归"公式"

递归的过程一定有参数的变化，并且参数的变化，和递归边界有关系.

在难度较大的题目中，这两者均不容易直接得到.

递归的种种问题，也许理解的同学可能可以用一句话解释清楚，但是不理解的同学再怎么说也没办法理解.

下面通过几个简单的例子【体会】一下递归，先从【感性】的角度理解递归.

1.Fibonacci数

我们直到Fibonacci数的递推公式为：F(0)=F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) n>=2;

这个明显地给出了递归边界n=0或1的时候F(n)的值，和递归逻辑F(n)=F(n-1)+F(n-2)，即递推公式.所以这个递归函数不难书写

#include<iostream>
using namespace std;

int F(int n)//函数返回一个数对应的Fibonacci数
{
	if(n==0 || n==1)//递归边界
		return 1;
	return F(n-1) + F(n-2);//递归公式
}

int main()
{
	//测试
	int n;
	while(cin >> n)
		cout << F(n) << endl;

	return 0;
}

阶乘的递归公式为：

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int F(int n)
{
	if(n==0)//递归边界
		return 1;

	return n*F(n-1);//递归公式
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	cout << F(n) << endl;

	return 0;
}

3.数组求和

给一个数组a[]:a[0],a[1],...,a[n-1]如何用递归的方式求和？

仍然是两个问题：递归边界和递归公式.

递归边界是什么？一时不容易想到，但是我们想到了求和，多个数的求和过程是什么，x,y,z,w手动求和的过程是什么？步骤如下：

x+y=a,任务变为a,z,w求和

a+z=b,任务变为b,w求和

b+w=c得出答案

思考一下，【得出答案】这一步为什么就可以得出答案呢？(废话？)是因为，一个数不用相加就能得出答案.

所以，递归的边界就是只有一个数.

所以，递归边界有了，那么递归公式呢？其实手动计算过程中，隐含了递归公式：

其中+为求两个数的和，F为求多个数的和的递归函数.代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int F(int a[],int start,int end)
{
	if(start==end)//递归边界
		return a[start];

	return a[start] + F(a,start+1,end);//递归公式
}

int main()
{
	int a[] = {1,2,3,4,5};
	int s=0,e=4;
	cout << F(a,s,e) << endl;

	return 0;
}

4.求数组元素最大值

手动求最大值的过程是什么，遍历+比较，过程如下：

例如，求3,2,6,7,2,4的最大值：先设置最大值max=-999999，然后将max和数组元素逐个(遍历)比较如果a[i]>max，则更新max的值为a[i]，否则max不变，继续向后遍历，直到遍历结束.

max<3，则max=3

max>2，max=3不变

max<6，则max=6

max<7，则max=7

max>2，max=7不变

max>4，max=7不变

遍历结束，max=7为最大值.

和求和类似，递归的公式如下：

其中max为求两个数的较大值函数，F为求多个数的最大值的递归函数.代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

#define max(a,b) (a>b?a:b)

int F(int a[],int s,int e)
{
	if(s==e)
		return a[s];
	else if(s+1 == e)//递归边界
		return max(a[s],a[e]);

	return max(a[s],F(a,s+1,e));//递归公式!!!
}

int main()
{
	int a[] = {5,1,4,6,2};
	int s = 0,e = 4;
	cout << F(a,s,e) << endl;

	return 0;
}

之所以，说上面的几个例子是【简单例子】，是因为上述所有的递归都属于【单向递归】.单向递归，递归的路径就是一个方向，所以思路相对比较容易想到.

较难的递归问题，一般都不是单向递归，而是需要使用【回溯】的方法，递归的方法不太容易想到.