简单的例子
Fibonacci数列
考虑Fibonacci数列，
F(n)=F(n−1)+F(n−2)
将右边两项看做是一个列向量的形式，令
Xn−1={Fn−1Fn−2}
很容易得到Xn的形式，即
Xn={FnFn−1}
现在的任务就是找到一个系数矩阵A，使得AXn−1=Xn，且A需与n无关。
如果能够找到这个A，则易知An−1X1=Xn，于是可以利用矩阵快速幂计算出Xn。这样就可以在O(logn)的时间内计算出指定的Fibonacci数。
这个矩阵很容易找，观察易得
A={1110}(1)Fibonacci数列变种
推广一下，如果令Fn=aFn−1+bFn−2，则系数矩阵为
A={a1b0}(2)利用二项式展开构造矩阵
计算k次方和
Fibonacci数列只是最简单的例子，对于稍微复杂一点的例子，二项式展开是常用的一项技术。
考虑计算：
Sn=∑i=1nik
易得
Sn=nk+Sn−1
如果仿照Fibonacci数列，令
Xn−1={nkSn−1}
则
Xn={(n+1)kSn}
此时，可求出
A=⎧⎩⎨⎪⎪(n+1n)k101⎫⎭⎬⎪⎪
这个系数矩阵很明显是不能用的，因为它与n有关，无法将递推公式转化为矩阵的幂运算。
这里需要使用二项式展开。
Sn=(n−1+1)k+Sn−1=C0k(n−1)k+C1k(n−1)k−1+⋯+Ckk+Sn−1
此时，如果令
Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)k(n−1)k−1⋮(n−1)0Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪
则有
Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪nknk−1⋮n0Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪
现在的任务与刚才一样，找到一个系数矩阵A，使得AXn−1=Xn，且A需与n无关。
有关Sn的递推公式实际上就指明了A的最后一行。而利用二项式展开很容易得到其他行。
有
A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪C0k0⋮0C0kC1kC0k−1⋮⋯C1k⋯⋯⋱⋯⋯CkkCk−1k−1⋮C00Ckk00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪(3)
最后有
An−1X1=Xn
且
X1={1 1 ⋯ 1}T
利用该系数矩阵可以在O(k3logn)时间内计算出k次方的和。更一般的例子
再考虑一个一般情况：
Sn=∑i=1n(ai+b)k
与刚才几乎一模一样，有
Sn=[a(n−1)+(a+b)]k+Sn−1=C0kak(n−1)k+C1kak−1(a+b)(n−1)k−1+⋯+Ckk(a+b)k+Sn−1
剩下的步骤，也几乎完全与之前的一样，令
Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)k(n−1)k−1⋮(n−1)0Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪
则
Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪nknk−1⋮n0Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪
同样，有关Sn的递推公式实际上就指明了A的最后一行，其他行则利用二项式展开得到。
有
A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪C0k0⋮0C0kakC1kC0k−1⋮⋯C1kak−1(a+b)⋯⋯⋱⋯⋯CkkCk−1k−1⋮C00Ckk(a+b)k00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪(4)更复杂的例子
假设要计算如下和式：
Sn=∑i=1nikki
同样，将其写成递推公式，有
Sn=nkkn+Sn−1=(n−1+1)kk(n−1)+1+Sn−1=C0k(n−1)kk(n−1)+1+C1k(n−1)k−1k(n−1)+1+⋯+Ckkk(n−1)+1+Sn−1
将与n有关的项抽出来作为列向量，令
Xn−1=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪(n−1)kk(n−1)+1(n−1)k−1k(n−1)+1⋮(n−1)0k(n−1)+1Sn−1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪
则
Xn=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪nkkn+1nk−1kn+1⋮n0kn+1Sn⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪同样，有关Sn的递推公式说明了系数矩阵A的最后一行。而其他行仍然可以由二项式展开得到，只是相差了一个系数k而已，这很容易解决。
最后，有
A=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪kC0k0⋮0C0kkC1kkC0k−1⋮⋯C1k⋯⋯⋱⋯⋯kCkkkCk−1k−1⋮kC00Ckk00⋮01⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪(5)部分题目
POJ3070利用了矩阵1，hdu3369利用了矩阵3和4，hdu3483利用了矩阵5。
原文地址： http://blog.csdn.net/u012061345/article/details/52224623
