公式(形式一)
F(n)=∑d|nf(d)⇒f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)
证明
我们要证明f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)可以先从∑d|nμ(d)F(nd)来推OwO
第一步:
∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)
这步应该十分显然,就是在左边的基础上套用F(n)的定义
第二步:
∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)
这步有点难理解,因为这是证明的精髓所在
仔细解释下,就是说把f(k)个μ(d)转换成了μ(d)个f(k)
这是因为k和d是等价的…
这个解释,苍白无力…
仔细想,每一个f(k)对应了一堆μ(d)
然后,每个对应的μ(d)也可以对应出相应的f(k)
脑补一下,其实还是很有道理的XD
第三步:
∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)
这一步应用了一个小定理
∑d|nμ(d)={1,0,n=1n≠1
所以仅当k=n时∑d|nkμ(d)=1
于是我们就得到了答案!!!
把过程连起来写就是这样的:
∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)
证毕~~~
公式(形式二)
F(n)=∑n|df(d)⇒f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)
证明
同理,我们还是可以从f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)的右边,∑n|dμ(dn)F(d)来推OwO