线性回归

简单来说线性回归就是寻找一条能够和数据拟合的直线，像这样：

（这是我上一篇博客中用到的图，顺手拿来用了^o^，数据都是瞎编的，用python的polyfit()函数拟合的）
很明显可以看出来有一些数据并不在我们拟合的这条直线上，说明我们拟合的直线还是有误差的
假定我们拟合的直线为：
一元的时候：

$$h_\theta(x)=\theta_1x_1+\theta_0$$
多元的时候： $$h_\theta(x_1,x_2,…,x_n)=\theta_nx_n+…+\theta_2x_2+\theta_1x_1+\theta_0$$
我们如果用 矩阵表示的话就更加方便了：
$$\begin {aligned} h_\theta(x)&=\theta_nx_n+…+\theta_2x_2+\theta_1x_1+\theta_0 \\\ &=\begin{bmatrix}\theta_0,\theta_1…\theta_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{bmatrix} \\\ &=\theta^TX \end {aligned}$$
但是我们拟合的直线和数据间依然有误差，即有的点和直线有一段距离，我们想要数据拟合的好也就意味着两者之间的距离要达到最小值，而 均方误差就是我们所谓的 损失函数：
一元的时候： $$J(\theta_1,\theta_0)=\frac{1}{2m}\sum_{i=0}^m(h_\theta(x_i)-y_i)^2$$ 注意：前面加上1/2只是为了方便求导，没有什么数学意义
多元的时候：（ 用矩阵表示）
$$J(\theta)=\frac{1}{2}(X\theta-Y)^T(X\theta-Y)$$
要求最小值可以用 最小二乘法和 梯度下降求

最小二乘法

思路:
(1)求函数的导数
(2)令导数为零
(3)取得最小值
此时：

$$\theta=(X^TX)^{-1}X^TY$$
注意：这里是用矩阵表示的，计算的时候不要把两边消掉了（=_=）

梯度下降法

思路：
(1)选一个点
(2)求梯度
(3)向梯度相反的方向移动 （移动的步长为学习率$\alpha$）
(4)重复步骤2，3
(5)取得最小值
对于每一次：

$$\theta=\theta-\alpha X^T(X\theta-Y)$$
注意：梯度下降法也适用于非线性的情况

逻辑回归

并不是所有时候数据都是线性关系，也可以是非线性关系，这个时候就用到逻辑回归了，逻辑回归是基于sigmoid函数，也叫s函数，s函数的值域在0-1之间

$$S(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
所以 逻辑回归的基本方程为: $$h_\theta(x)=\frac{1}{1+e^{-X\theta}}$$
逻辑回归的损失函数是用 最大似然法求得：
思路：
(1)求似然函数
(2)将似然函数最大化
(3)对似然函数取反
（ 似然函数的定义看这里： 似然函数）
最后求得损失函数为：
$$J(\theta)=-\sum_{i=1}^m(y^{(i)}log(h_\theta(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h\theta(x^{(i)})))$$